Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，点P以每秒1个单位的速度从
A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都
停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（Ⅰ）在运动过程中，请你用t表示P、Q两点间的距离，并求出P、Q两点间的距离
的最大值；
（Ⅱ）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）分两种情况考虑：
当Q在AB边上时，过Q作QE⊥AC，交AC于点E，连接PQ，如图1所示：

∵∠C=90°，
∴QE∥BC，
∴△ABC∽△AQE，
∴
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
根据勾股定理得：AB=10，
∵AQ=2t，AP=t，
∴==，
整理得：PE=t，QE=t，
根据勾股定理得：PQ2=QE2+PE2 ，
整理得：PQ=t；
当Q在BC边上时，连接PQ，如图2所示：

由AB+BQ=2t，AB=10，得到BQ=2t﹣10，CQ=BC﹣BQ=6﹣（2t﹣10）=16﹣2t，
由AP=t，AC=8，得到PC=8﹣t，
根据勾股定理得：PQ==，
当Q与B重合时，PQ的值最大，
则当t=5时，PQ最大值为3；
（Ⅱ）分两种情况考虑：
当Q在AB边上时，如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP ，
此时S=APQE=tt=t2（0＜t≤5）；
当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP ，
此时S=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40（5＜t≤8）．
综上，经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式为．
【解析】（Ⅰ）分Q在AB边上与Q在BC边上，分别如图1和图2所示，表示出PQ的长，当Q与B重合时，PQ取得最大值，求出即可；
（Ⅱ）分两种情况考虑：当Q在AB边上时，如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP；当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP ， 分别表示出S与t的函数关系式即可．