Question

【题目】书籍开本有数学

开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……

若这张矩形印刷用纸的短边长为a．

（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD(ABBC)进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经过点B，得到折痕BG，求的值．

（2）如图③，2开纸BCIH和4开纸AMNH的对角线分别是HC、HM．说明HC⊥HM．

（3）将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是________.（用含a的代数式表示，直接写出结果）

Answer 1

【答案】

【解析】分析：（1）根据折叠得四边形BCEF是正方形，BC=a，BE=，AB=BE=，故可求=；

（2）易求AHBH，．故，由∠A∠B90°，所以△MAH∽△HBC，得∠AHM∠BCH．易得∠MHC90°，所以HC⊥HM．

（3）

详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC∠C90°．

∵第一次折叠使点C落在AB上的F处，并使折痕经过点B，

∴∠CBE∠FBE45°，

∴∠CBE∠CEB45°，

∴BCCEa，BE．

∵第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，

∴ABBE，

∴．

（2）根据题意和（1）中的结论，有AHBH，．

∴．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A∠B90°，

∴△MAH∽△HBC，

∴∠AHM∠BCH．

∵∠BCH∠BHC90°，

∴∠AHM∠BHC90°，

∴∠MHC90°，

∴HC⊥HM．

（3）．