Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限。

（1）点C与原点O的最短距离是________；

（2）没点C的坐标为（，点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y关于x的函数关系式为________。

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）先根据反比例函数的对称性及等腰直角三角形的性质可得OC=OA=OB，利用勾股定理求出AO的长为，再配方得，根据非负性即可求出OA的最小值，进而即可求解；

（2）先证明△AOD≌△COE可得AD=CE，OD=OE，然后根据点C的坐标表示出A的坐标，再由反比例函数的图象与性质即可求出y与x 的函数解析式.

解：（1）连接OC，过点A作AD⊥y轴，如图，

，
∵A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，延长AO交另一分支于点B，

∴OA=OB，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴OC=OA=OB，

∴当OA的长最短时，OC的长为点C与原点O的最短距离，

设A（m，），

∴AD=m，OD=，

∴OA===，

∵，

∴当时，OA=为最小值，

∴点C与原点O的最短距离为.

故答案为；

（2）过点C作x轴的垂线，垂足为E，如上图，

∴∠ADO=∠CEO=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴OC=OA=OB，OC⊥AB，

∴∠COE+∠AOE=90°，

∵∠AOD+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠COE，

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴AD=CE，OD=OE，

∵点C的坐标为(x，y)(x＞0)，

∴OE=x，CE=-y，

∴OD=x，AD=-y，

∴点A的坐标为（-y，x），

∵A是双曲线第一象限的一点，

∴，即，

∴y关于x的函数关系式为（x>0）.

故答案为（x>0）.