Question

【题目】抛物线F与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），对称轴为直线x=1，顶点C在直线上，与y轴相交于点D（0，3）。

（1）求抛物线F的解析式；

（2）连结CD、BD，则线段BD与CD的数量关系和位置关系分别为 ；

（3）点P为直线CD上方抛物线F上的一个动点，PQ⊥CD，垂足为Q，若∠QPD=∠DBC，求点P的坐标。

Answer 1

【答案】（1）抛物线F的解析式为 ；

（2）BD⊥CD，BD=3CD；

（3）点P的坐标为P1和P2(4,5)

【解析】分析:（1）由题意得顶点C（1，-4），设抛物线解析式为;y=a(x-1) -4,把D(0，3)代入即可求解；（2）由D、B、C的坐标，求出线段BD,BC,BC的值，利用定理的逆定理判断；（3）分两种情况讨论①当点Q在点D在下方时；②当点Q在点D在上方时.

本题解析：（1）将x=1代入y=x-5，∴y=-4，∴顶点C(1,-4)

设，∵过点D（0，-3）， ∴a-4=-3，∴a=1，∴ .

（2）BD⊥CD，BD=3CD

（3）①当点Q在点D在下方时

∵P1Q1⊥CD, ∴∠P1Q1D=∠BDC=90°

又∵∠DBC=∠Q1P1D

∴∠BCD=∠P1DQ1 ，∴∠BDE=∠DBE

∴ED=EC=BE即E为BC的中点

∴E（2，-2）, ∴

②当点Q在点D在上方时

∵∠P2Q2D=∠BDC=90°∠DBC=∠Q2P2D

∴∠DCB=∠Q2DP2,∴P2D∥BC, ∵B（3,0），C（1，-4）,∴,∵D（0，-3）

∴ ,∴P2(4,5) ,∴点P的坐标为和P2(4,5).