Question

【题目】已知如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1，0)，C(0，－3)

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值.

(3) 若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）S△ACD的最大值为;(3)见解析.

【解析】

（1）将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．

（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；过点D作DE∥y轴交AC于E，则E（m，﹣m﹣3），可得到当△ADC面积有最大值时，四边形ABCD的面积最大值，然后列出四边形的面积与m的函数关系式，利用配方法可求得此时m的取值范围；

（3）本题应分情况讨论：①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．

解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：a=，c=﹣3．

∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3

（2）令y=0，则x2+x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣4

∴A（﹣4，0）、B（1，0）

令x=0，则y=﹣3

∴C（0，﹣3）

∴S△ABC=×5×3=

设D（m，m2+m﹣3）

过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，则E（m，﹣m﹣3）

DE=﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）=﹣（m+2）2+3

当m=﹣2时，DE有最大值为3

此时，S△ACD有最大值为×DE×4=2DE=6

∴四边形ABCD的面积的最大值为6+=．

（3）如图所示：

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，

∵C（0，﹣3）

∴设P1（x，﹣3）

∴x2+x﹣3=﹣3

解得x1=0，x2=﹣3

∴P1（﹣3，﹣3）；

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，

∵C（0，﹣3）

∴设P（x，3），

∴x2+x﹣3=3，

解得x=或x=，

∴P2（，3）或P3（，3）

综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）．