Question

【题目】探索与研究：
方法1：如图（a），对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以
∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；

方法2：如图（b），是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？

Answer 1

【答案】解：方法1：∵由图（a）可知S正方形ACFD=S四边形ABFE ,

∴S正方形ACFD=S⊿BAE+S⊿BFE

又∵正方形ACFD的边长为b, SRt△BAE= ,SRt△BFE=

∴b2 = +

即2b2 =c2 +（b+a）（b-a）

整理得: a2+b2=c2

方法2：如图（b）中,Rt△BEA和Rt△ACD全等, 设CD=a,AC=b,AD=c（b>a）,

则AE=a,BE=b,AB=c,EC=b-a

由图（b）,S四边形ABCD = SRt△BAE + SRt△ACD+SRt△BEC =SRt△BAD+S△BCD

又∵SRt△BAE = , SRt△ACD = ,SRt△BEC= ,

SRt△BAD= ,S△BCD= ,

∴ + + = +

即2ab+b（b-a）= c2 +a（b-a）

整理得: a2+b2=c2

【解析】方法1：由图（a）可知S正方形ACFD=S四边形ABFE ，S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，根据已知即可证得a2+b2=c2；
方法2：如图（b）中,Rt△BEA和Rt△ACD全等, 设CD=a,AC=b,AD=c（b>a）,分别表示出AE、BE、CE的长，,S四边形ABCD = SRt△BAE + SRt△ACD+SRt△BEC =SRt△BAD+S△BCD，建立方程即可证得a2+b2=c2。
【考点精析】利用三角形的面积对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三角形的面积=1/2×底×高．