Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，点E为AD上一定点，F为AD延长线上一点，且DF=acm，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，运动到B点停止，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为ycm2 ， 当0≤t≤1时，△PAE的面积y（cm2）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点H．

（1）t的取值范围为 ， AE=cm；
（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？
（3）在（2）的条件下求出点P的运动时间t．

Answer 1

【答案】
（1）0≤t≤3.5；1
（2）

解：如图3，

∵四边形AMHP是菱形，

∴AM=MH=2DM，AM∥PF，

∵∠ADM=90°，DM= AM，

∴∠MAD=30°，

∴∠PFA=MFA=∠MAD=30°，

∴MA=MF，

∵MD⊥AF，

∴AD=DF=4，

∴a=4．

（3）

解：当a=4cm时，FA=AD+DF=8cm，

令PA=x，则PF=2x，

根据勾股定理可得，PF2=PA2+AF2，

即（2x）2=x2+82，

解得x= ，（负值已舍去）

∴P的运动时间为 ÷2= 秒

【解析】解：（1）∵AB=7，而7÷2=3.5，
∴0≤t≤3.5，
由题意可知，y= ×2t×AE，
由图2可知，当t=0.5时，y=0.5，
∴0.5= ×2×0.5×AE，
∴AE=1，
故答案分别为：0≤t≤3.5，1；
（1）根据AB的长以及点P的移动速度，可以确定t的范围；根据题意可知，y= ×2t×AE，由图2可知，当t=0.5时，y=0.5，进而得出0.5= ×2×0.5×AE，即可求出AE．（2）根据菱形的性质以及轴对称的性质，即可证明∠MAD=∠MFD=30°，最后根据等腰三角形的性质，即可解决问题．（3）令PA=x，则PF=2x，根据勾股定理可得，PF2=PA2+AF2 ， 即可得出方程（2x）2=x2+82 ， 求得x的值即可得到点P的运动时间t．