Question

【题目】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)（概念理解）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是___________.

(2)（性质探究）如图2，试探索垂美四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC ，AD之间的数量关系，写出证明过程。

(3)（问题解决）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外做正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE,BG,GE, 已知AC=,BC=1 求GE的长.

Answer 1

【答案】菱形、正方形

【解析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可；

（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．

（1）菱形的对角线互相垂直，符合垂美四边形的定义，

正方形的对角线互相垂直，符合垂美四边形的定义，

而平行四边形、矩形的对角线不一定垂直，不符合垂美四边形的定义，

故答案为：菱形、正方形；

（2）猜想结论：AD2+BC2=AB2+CD2，证明如下：

如图2，连接AC、BD，交点为E，则有AC⊥BD，

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）连接CG、BE，设AB与CE的交点为M

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

又∵AG=AC,AB=AE，

∴△GAB≌△CAE(SAS)，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMC，

∴∠ABG+∠BMC=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=,BC=1 ∴AB=2,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

GE的长是.