Question

【题目】如图：在平面直角坐标系中，点A在X轴的正半轴，OA=8 ,点B在第一象限，∠AOB=60°，AB⊥OB垂足为B, 点D、C分别在边OB、OA上，且OD=AC=t,以OD、OC为边作平行四边形OCED,DE交直线AB为F,CE交直线AB为点G.

(1) 当t=2时， 则E的坐标为　 　

(2) 若ΔDFC的面积为，求t的值。

(3) 当D、 B 、G、 E四点为顶点的四边形为平行四边形时，在Y轴上存在点M,过点M作FC的平行线交直线OB为点N，若以M、 N、 F、 C为顶点的四边形也是平行四边形，则点M的坐标为 　 （直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）(7，)；（2）；（3）（0，），（0，）.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质以及勾股定理计算即可；

（2）根据三角形的面积公式，用含t的代数式分别表示出三角形的底和高，列出方程即可；

（3）先根据四边形BDGE是平行四边形计算出t的值；再根据四边形MNCF是平行四边形算出点M的坐标即可．

（1）过点D作DQ⊥OA于点Q，则∠ DQO=90°

当t=2时，OD=AC=2

则OC=OA-AC=8-2=6

在平行四边形OCED中，DE=OC=6

在Rt△OQD中，∠AOB=60°，∠ DQO=90°，

∴，

∴点E的横坐标为：1+6=7，纵坐标为：

故点E的坐标为：（7，）

（2）在平行四边形OCED中，CE=OD=t，且OD∥CE，OC∥DE

∵AB⊥OB

∴∠ ABO=90°

又∵OD∥CE

∴∠ AGC=90°，∠ACG=∠AOB=60°，

在Rt△ACG中，∠ACG =60°，∠AGC =90°，

∴，

∴

∴CG=EG

∵OC∥DE

∴∠ACG=∠FEG

在△ACG和△FEG中，

∴△ACG≌△FEG

∴EF=AC=t

∴

由（1）知，，则

∴

又∵ΔDFC的面积为

∴

解得：，

（3）当点M在y轴正半轴上时；

在Rt△AOB中，∠AOB =60°，∠ABO =90°，

∴，

∴

∵四边形BDGE是平行四边形

∴

∴

由（2）知

∴

解得：

∴

∵OC∥DE，DQ⊥OC，FP⊥OC

∴

若四边形MNCF是平行四边形，

则有MN=CF

有题设条件易得，△CPF≌△NHM

∴，

在Rt△OHN中，∠OHN =90°，∠HON =90°-60°=30°，

∴，

∴

∴点M的坐标为（0，）

当点M在y轴负半轴上时；同理可得点M的坐标为（0，）

综上所述：点M的坐标为（0，）或（0，）