Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角的平分线，CE⊥AE于点E． 求证：四边形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，

∵AE是∠BAC的外角的平分线，

∴∠CAE=∠FAE= ∠FAC，

∵∠BAC+∠FAC=180°，

∴∠DAC+∠EAC= ×180°=90°，

即∠DAE=90°，

∵CE⊥AE，

∴∠AEC=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，

∴∠B+∠ACB=∠FAE+∠CAE，

∴∠FAE=∠B，

∴AE∥BC，

∴∠AEC+∠ECB=180°，

∴∠ECB=90°，

∴∠DAE=∠AEC=∠ECB=90°，

∴四边形ADCE是矩形．

【解析】由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD= ∠BAC和∠CAE=∠FAE= ∠FAC，则∠DAE=90°，再证明∠AEC=∠ECB=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得出结论．