Question

【题目】已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C=90°，OB=25，OC=20，若点M是边OC上的一个动点（与点O、C不重合），过点M作MN∥OB交BC于点N．

（1）求点C的坐标；
（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；
（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，过C作CH⊥OB于H，

∵∠C=90°，OB=25，OC=20，

∴BC= = =15，

∵S△OBC= OBCH= OCBC，

∴CH= = =12，

∴OH= =16，

∴C（16，﹣12）

（2）

解：∵MN∥OB，

∴△CNM∽△COB，

∴ = = = ，

设CM=x，则CN= x，

∵△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等，

∴CM+CN+MN=OM+MN+OB，即x+ x+MN=20﹣x+mn+15﹣ x+25，

解得：x= ，

∴CM=

（3）

解：如图2，

由（2）知，当CM=x，则CN= x，MN= x，

①当∠OMQ1=90°MN=MQ时，

∵△OMQ∽△OBC，

∴ = ，

∵MN=MQ，

∴ = ，

∴x= ，

∴MN= x= × = ；

②当∠MNQ2=90°，MN=NQ2时，

此时，四边形MNQ2Q1是正方形，

∴NQ2=MQ1=MN，

∴MN= ．

【解析】（1）如图1，过C作CH⊥OB于H，根据勾股定理得到BC= = =15，根据三角形的面积公式得到CH= = =12，由勾股定理得到OH= =16，于是得到结论；（2）∵根据相似三角形的性质得到 = = = ，设CM=x，则CN= x，根据已知条件列方程即可得到结论；（3）如图2，由（2）知，当CM=x，则CN= x，MN= x，①当∠OMQ1=90°MN=MQ时，②当∠MNQ2=90°，MN=NQ2时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的应用，需要了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能得出正确答案．