Question

【题目】（观察探索）用“＜”、“＞”或“=”完成以下填空，并观察两边算式，探索规律:

（猜想证明）请用一个含字母a、b的式子表示上以规律，并证明结论的正确性；

（应用拓展）比较代数式m2-3mn+1与mn-4n2的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）>；=；（2）a2+b2≥2ab；（3）m2-3m+1>mn-4n2

【解析】

（1）猜想证明:观察几个式子的规律得到结论:两个数的平方和大于或等于这两个数积的2倍.运用完全平方公式和平方数非负性质可证明这个结论.

(2)运用求差法比较m2-3m+1与的大小.把 m2-3m+1-(mn-4n2)整理后配方可知其最小值.

解：（1）猜想:

2×(-3) ×4=-24

∴2×(-3) ×4

=72 2×(-6) ×(-6)=72

∴=2×(-6) ×(-6)

用字母表示这个规律: a2+b2≥2ab

证明:=-2ab+ b2

又≥0

∴-2ab+ b2≥0

∴a2+b2≥2ab

(2) 应用拓展:

m2-3m+1-(mn-4n2)

=m2-3m+1-mn+4n2

=m2-4mn+4n2+1

=(m-2n)2+1

∵(m-2n)2≥0

∴(m-2n)2+1>0

所以m2-3m+1>mn-4n2