Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且 = ，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．

（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：OB=BP．

理由：连接OC，

∵PC切⊙O于点C，

∴∠OCP=90°，

∵OA=OC，∠OAC=30°，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

∴∠COP=60°，

∴∠P=30°，

在Rt△OCP中，OC= OP=OB=BP

（2）

解：

由（1）得OB= OP，

∵⊙O的半径是2，

∴AP=3OB=3×2=6，

∵ = ，

∴∠CAD=∠BAC=30°，

∴∠BAD=60°，

∵∠P=30°，

∴∠E=90°，

在Rt△AEP中，AE= AP= ×6=3．

【解析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP=90°，又由∠BAC=30°，即可求得∠COP=60°，∠P=30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB=BP；（2）由（1）可得OB= OP，即可求得AP的长，又由 = ，即可得∠CAD=∠BAC=30°，继而求得∠E=90°，继而在Rt△AEP中求得答案．