Question

【题目】已知，中，，点是边上一点，过点作交于点

如图①，求证：；

如图②，将绕点逆时针旋转得到．连接．

①若，求的长；

②若，在图②的旋转过程中，当时，直接写出旋转角的大小．

Answer 1

【答案】证明见解析；（2）①6，②当旋转角为或.

【解析】

（1）根据等腰三角形两底角相等，再根据平行线的性质得出，，，得出，进一步得出结论；

（2）求出，再根据旋转的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（3）把绕点逆时针旋转与过点与平行的直线相交于、，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可.

证明：∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴．

解：①由旋转的性质得，，，

在和中，

，

∴，

∴；

②由可知，

所以，在绕点逆时针旋转过程中，点经过的路径（圆弧）与过点且与平行的直线相交于点、，如图，

①当点的像与点重合时，四边形是等腰梯形，

所以，，

又∵，

∴；

②当点的像与点重合时，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

综上所述，当旋转角为或