Question

【题目】如图（1），抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）k= ， 点A的坐标为 ， 点B的坐标为；

（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求出点Q坐标，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）﹣3,（﹣1,0）,（3,0）
（2）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则M（1，﹣4），

抛物线的对称轴交x轴于N，如图（1），

四边形ABMC的面积=S△AOC+S梯形OCMN+S△MNB= ×1×3+ ×（3+4）×1+ ×4×（3﹣1）=9

（3）解：存在．

作DE∥y轴交直线BC于E，如图（2），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（3，0），C（0，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

设D（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，x﹣3），

∴DE=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△BCD= DE3=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+ ，

当x= 时，S△BCD有最大值，

∵S△ACB= ×4×3=6，

∴x= 时，四边形ABDC的面积最大，

此时D点坐标为（ ，﹣ ）；

（4）解：∵OB=OC=3，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

当∠CBQ=90°时，BQ交y轴于G点，如图（3），则∠OBG=45°，

∴OG=OB=3，则G（0，3），

易得直线BG的解析式为y=﹣x+3，

解方程组 得 或 ，

∴Q（﹣2，5）；

当∠BCQ=90°时，CQ交x轴于H点，如图（3），

则∠OCH=45°，

∴OH=OC=3，则H（﹣3，0），

易得直线CH的解析式为y=﹣x﹣3，

解方程组 得 或 ，

∴Q（1，﹣2）；

综上所述，点Q坐标为（1，﹣2）或（2，5）时，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

【解析】解：（1）把C（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+k得k=﹣3，

则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0）；

所以答案是﹣3，（﹣1，0），（3，0）；