Question

【题目】如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3 ， 现有如下结论：
①S1：S2=AC2：BC2；
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，则S1S2= S32 ．
其中结论正确的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】①S1：S2=AC2：BC2正确，
解：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S1：S2=AC2：BC2 ．
②△BCD≌△ECA正确，
证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA（SAS）．
③若AC⊥BC，则S1S2= S32正确，
解：设等边三角形ADC的边长=a，等边三角形BCE边长=b，则△ADC的高= a，△BCE的高= b，
∴S1= a a= a2 ， S2= b b= b2 ，
∴S1S2= a2 b2= a2b2 ，
∵S3= ab，
∴S32= a2b2 ，
∴S1S2= S32 ．
【考点精析】关于本题考查的等边三角形的性质，需要了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案．