Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 = ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．

（1）求证：△ADF∽△AED；

（2）求FG的长；

（3）求证：tan∠E= ．

Answer 1

【答案】①证明见解析；

②2；

③证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由垂径定理可得弧AC=弧AD，根据等弧所对的圆周角相等，可得∠ADF=∠AED，，根据两角对应相等的两个三角形相似的判定定理，即可证得△ADF∽△AED；

（2）根据 = ，CF=2，可得FD=6，故可得CD的长，根据垂径定理即可求得CG的长，再根据CG-CF即可得FG的长。

（3）在Rt△AGF中由勾股定理求得AG的长，根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等的性质，可知∠E=∠ADF，再根据三角函数定义即可证得tanE的值.

解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，

∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED；

②∵=，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2；

③∵AF=3，FG=2，∴AG=，

tan∠E=．