Question

【题目】阅读下面材料，并回答下列问题：

小明遇到这样一个问题，如图，在中，分别交于点，交于点.已知，求的值.

小明发现，过点作，交的延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）

请你回答：

（1）证明：；

（2）求出的值；

（3）参考小明思考问题的方法，解决问题；

如图，已知和矩形与交于点.求的度数.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，从而问题得以解决；

（2）由DC⊥BE，四边形DCFE是平行四边形，可得Rt△BEF，求出BF的长，证明BC+DE=BF；

（3）连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，问题得证．

（1）证明：∵DE∥BC，EF∥DC，

∴四边形DCFE是平行四边形．

∴DE=CF．

（2）解：由于四边形DCFE是平行四边形，

∴DE=CF，DC=EF，

∴BC+DE=BC+CF=BF．

∵DC⊥BE，DC∥EF，

∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，

∵BE=5，CD=3，

∴BF=．

（3）连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC．

∵四边形ABEF是矩形，

∴AB∥FE，BF=AE．

∴DC∥FE．

∴四边形DCEF是平行四边形．

∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，

∴AC=AE=CE．

∴△ACE是等边三角形．

∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，

∴∠AGF=∠ACE=60°．