Question

【题目】已知二次函数y=ax2－4ax+a2+2（a＜0）图像的顶点G在直线AB上，其中A（，0）、B（0，3），

对称轴与x轴交于点E．

（1）求二次函数y=ax2－4ax+a2+2的关系式；

（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标；

（3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当＜ x ≤时，抛物线y随x增大而增大，若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函数关系式为y=－x2+4x+3；

（2）P（， ），

（3）m取－2、－1

【解析】解（1）由A（－，0）、B（0，3），可设直线AB：y=kx+3，

从而得，k=2, ∴y=2x+3，

抛物线y=ax2－4ax+a2+2的顶点G（2，a2－4a+2）,

点G在直线AB上，∴ a2－4a+2=4+3，∴a=－1，a=5（舍去）,

二次函数关系式为y=－x2+4x+3.

（2）∵AP平分四边形GAEP的面积， ∴2S△AEP=S四边形GAEP，

设P（t，－t2+4t+3），

∴ 2×（2+）（－t2+4t+3）=×7×（2+）+×7×（t－2）

∴ 2t2－6 t－3=0，∴t1=， t2=（舍去）∴P（， ），

（3）抛物线与x轴交点C（2－，0），D（2+，0），

在x轴上方，抛物线y随x增大而减大，则2－＜x≤2,

又∵＜ x≤,

∴，得：4－3≤m≤－,

∵整数m为整数，∴m为－3，－2、－1．

又∵＜，m＞－．

∴m取－2、－1.