Question

【题目】如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD= ，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中， ，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE

（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD= ，
在Rt△CDF中，CF= = =2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2
∴AD=AF+DF=2+ ．
【解析】（1）要证BF=2AE，根据等腰三角形三线合一的性质可知AC=2AE，只需证明AC=BF，就需证△ADC≌△BDF，即可证得结论。
（2）由△ADC≌△BDF得出DF=CD= ，再利用勾股定理求出CF的长，再根据线段垂直平分线的性质证出 AF=CF=2，然后根据AD=AF+DF即可得出结果。