Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）S△ACD=2；（3）存在满足条件的点E，其坐标为（2+，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1）．

【解析】试题分析：（1）设顶点式y=a（x-2）2-1（a≠0），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）通过解方程x2-4x+3=0得A（1，0），B（3，0），再利用待定系数法求出直线BC解析式为y=-x+3，从而得到D（2，1），然后利用S△ACD=S△ABC-S△ABD进行计算即可；
（3）易得∠FED≠90°，则△DEF为直角三角形，分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，①当∠DFE=90°时F点纵坐标为1，解方程x2-4x+3=1得点E的横坐标为2±，再利用点E在直线y=-x+3上可确定E点坐标；②当∠EDF=90°时，先确定直线AD解析式为y=x-1，则可判断AD⊥BC，所以直线AD与抛物线的交点即为E点，解方程x2-4x+3=x-1得E点的横坐标，然后利用直线BC的解析式确定E点坐标．

（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2﹣1（a≠0），

把C（0，3）代入可得a（0﹣2）2﹣1=3，解得a=1，

∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得x2﹣4x+3=0，解得x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

设直线BC解析式为y=kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直线BC解析式为y=﹣x+3，

由（1）可知抛物线的对称轴为x=2，此时y=﹣x+3=1，

∴D（2，1），

∴S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=×2×3﹣×2×1=2；

（3）由题意知EF∥y轴，则∠FED=∠OCB≠90°，

∴△DEF为直角三角形，分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，

①当∠DFE=90°时，即DF∥x轴，则D、F的纵坐标相同，

∴F点纵坐标为1，

∵点F在抛物线上，

∴x2﹣4x+3=1，解得x=2±，即点E的横坐标为2±，

∵点E在直线y=﹣x+3上，

∴当x=2+时，y=﹣x+3=1﹣；

当x=2﹣时，y=﹣x+3=1+，

∴E点坐标为（2+，1﹣）或（2﹣，1+）；

②当∠EDF=90°时，

∵A（1，0），D（2，1），

∴直线AD解析式为y=x﹣1，

∵直线BC解析式为y=﹣x+3，

∴AD⊥BC，

∴直线AD与抛物线的交点即为E点，

联立直线AD与抛物线解析式有x2﹣4x+3=x﹣1，解得x=1或x=4，

当x=1时，y=﹣x+3=2；当x=4时，y=﹣x+3=﹣1，

∴E点坐标为（1，2）或（4，﹣1），

综上所述，存在满足条件的点E，其坐标为（2+，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1）．