Question

【题目】如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD+∠EDB=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD．写出∠EBI与∠BHD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，

∴∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠BDE，

∵∠EBD+∠EDB=90°，

∴∠ABD+∠BDC=2×90°=180°，

∴AB∥CD

（2）解：∵BE平分∠ABD，

∴∠ABD=2∠EBD，

∵BI平分∠HBD，

∴∠HBD=2∠IBD，

如图1，点H在点D的左边时，∠ABH=∠ABD﹣∠HBD，

∠EBI=∠EBD﹣∠IBD，

∴∠ABH=2∠EBI，

∵AB∥CD，

∴∠BHD=∠ABH，

∴∠BHD=2∠EBI，

如图2，点H在点D的右边时，∠ABH=∠ABD+∠HBD，

∠EBI=∠EBD+∠IBD，

∴∠ABH=2∠EBI，

∵AB∥CD，

∴∠BHD=180°﹣∠ABH，

∴∠BHD=180°﹣2∠EBI，

综上所述，∠BHD=2∠EBI或∠BHD=180°﹣2∠EBI．

【解析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠BDE，然后求出∠ABD+∠BDC=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明；（2）根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠EBD，∠HBD=2∠IBD，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行线的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．