Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G，且MB=MG．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）AD = DG＋DM；（3）AD = DG－DN.

【解析】

（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW=DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD=WG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H=∠2，进而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．

(1)证明：如图1所示：

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°，

∴∠ABC=60°,BC=AB.

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠DBA=∠A=30°.

∴DA=DB.

∵DE⊥AB于点E.

∴AE=BE=AB.

∴BC=BE.

∴△EBC是等边三角形；

(2)结论：AD=DG+DM.

证明：

如图2所示：延长ED使得DW=DM，连接MW，

∵∠ACB=90°,∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，

∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，

又∵DM=DW，

∴△WDM是等边三角形，

∴MW=DM，

在△WGM和△DBM中，

∵

∴△WGM≌△DBM，

∴BD=WG=DG+DM，

∴AD=DG+DM.

(3)结论：AD=DGDN.

证明：延长BD至H，使得DH=DN.

由(1)得DA=DB,∠A=30°.

∵DE⊥AB于点E.

∴∠2=∠3=60°.

∴∠4=∠5=60°.

∴△NDH是等边三角形.

∴NH=ND,∠H=∠6=60°.

∴∠H=∠2.

∵∠BNG=60°，

∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.

即∠DNG=∠HNB.

在△DNG和△HNB中,

∴△DNG≌△HNB(ASA).

∴DG=HB.

∵HB=HD+DB=ND+AD，

∴DG=ND+AD.

∴AD=DGND.