Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，PB、PC分别是⊙O的切线，切点为B、C，PC、BA的延长线交于点D，DE⊥PO，交PO的延长线于点E．
（1）求证：∠DPO=∠EDB；
（2）若PB=3，DB=4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PC、PB是⊙O的切线，

∴∠DPO=∠OPB，

∵DE⊥PO，∴∠E=90°，

∵点B是切点，PB是切线

所以∠PBD=90°，

∴∠E=∠PBD，又∵∠POB=∠EOD

∴∠EDB=∠OPB

∴∠DPO=∠EDB

（2）解：连接OC，

∵PC、PB是⊙O的切线，切点为B、C，

∴PB=PC，∠PCO=90°．

在Rt△PBD中，∵PB=3，DB=4，∴PD=5，

∴DC=PD﹣PC=2

设⊙O半径为r，则OD=BD﹣r=4﹣r

在Rt△DCO中，r2+22=（4﹣r）2

∴r=1.5

即⊙O的半径为1.5．

【解析】（1）由切线长定理，知∠DPO=∠BPO，在△EOD和△BOP中，根据等角的余角相等，得∠BPO=∠EDB，从而问题得证．（2）在Rt△PBD中由勾股定理易得PD的长、由切线长定理知PB=PC，可计算出CD的长；若设圆的半径为r，OD=4﹣r，OC=r，在Rt△DCO中，根据勾股定理得到关于r的方程，求出⊙O的半径．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)．