Question

【题目】如图，二次函数y=mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．

（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；
（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（﹣5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE=∠MCB，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线的顶点坐标的横坐标为1，

∴ ，

解得，m1=﹣1，m2=0（舍去）

∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3，

当y=0时，﹣x2+2x+3=0，

解得，x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

（2）

解：如图1，过点E作EH⊥y轴于点H，

∵∠PQO+∠OPQ=90°，∠OPQ+∠HPE=90°，

∴∠HPE=∠PQO，

由旋转知，PQ=PE，

在△EPH和△PQO中， ，

∴△EPH≌△PQO，

∴EH=OP=﹣t，HP=OQ=5

∴E（﹣t，5+t）

当点E恰好在该二次函数的图象上时，有5+t=﹣t2﹣2t+3

解得t1=﹣2，t2=﹣1（由于t＜﹣1所以舍去），

（3）

解：设点M（a，﹣a2+2a+3）

①若点M在x轴上方，

如图2，过点M作MN⊥y轴于点N，

过点D作DF⊥x轴于点F．

∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB

∴∠MCN=∠DAF

∴△MCN∽△DAF，

∴ ，即

∴ ，a2=0（舍去）

∴ ，

②若点M在x轴下方，

如图3，过点M作MN⊥y轴于点N，

过点D作DF⊥x轴于点F．

∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB

∴∠MCN=∠ADF

∴△MCN∽△ADF

∴ ，即

∴a1=4，a2=0（舍去）

∴M（4，﹣5）

综上所述， 或M（4，﹣5）．

【解析】（1）利用抛物线的顶点坐标的横坐标为1建立方程即可求出M，进而得出抛物线解析式，再令y=0解一元二次方程即可得出点A，B的坐标；（2）先构造出全等三角形△EPH≌△PQO，进而得出EH=OP=﹣t，HP=OQ=5，即可得出点E的坐标，代入抛物线解析式中即可求出t；（3）分两种情况讨论计算，①点M在x轴上方时，构造相似三角形△MCN∽△DAF得出比例式建立方程即可求出点M的坐标，②点M在x轴下方时，同①的方法即可得出点M的坐标．