Question

【题目】将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜360°），得到矩形AEFG

（1）如图1，当点E在BD上时求证：FD=CD；

（2）当a为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）60°或300°

【解析】

（1）先运用SAS证明△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD,即可得到CD=DF；

（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，根据∠DAG=60°，即可求旋转角的度数.

（1）由旋转可知，AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，

EF=BC=AD,

∴∠AEB=∠ABE，

又∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF

∴∠EDA=∠DEF，

又DE=ED，

∴△AED≌△FDE，

∴DF=AE,

又AE=AB=CD,

∴CD=DF

（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，

分两种情况讨论

如图，当点G在AD右侧时，取BC中点H，连接GH交AD于M，

∵GC=GB,

∴GH⊥BC，

∴四边形ABHM是矩形，

∴AM=BH=AD=AG

∴GM垂直平分AD,

∴GD=GA=DA,

∴△ADG是等边三角形，

∴∠DAG=60°，故旋转角为60°；

如图当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，

∴∠DAG=60°，

∴旋转角为360°-60°=300°.