Question

【题目】等边三角形△ABC，直线1过点C且垂直AC．

（1）请在直线1上作出点D，使得△ABD的周长最小．

（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，求证，AD＝2BD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′交直线1于点D，此时使得△ABD的周长最小．

（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，根据对称性和30度角所对直角边等于斜边的一半即可证明AD＝2BD．

解：（1）如图所示：

作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′，与直线l交于点D，

则点D即为所求作的点．

（2）根据对称性可知：

AC＝A′C，AD＝A′D，

∵△ABC为等边三角形，

∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°＝∠BAC，

∴A′C＝BC，

∴∠A′＝∠A′BC＝30°，∠A′＝∠DAA′＝30°，

∴∠ABD＝90°，

∴AD＝2BD．