Question

【题目】已知抛物线，其中．

(1)求证：为任意非零实数时，抛物线与轴总有两个不同的交点；

(2)求抛物线与轴的两个交点的坐标（用含的代数式表示）；

(3)将抛物线沿轴正方向平移一个单位长度得到抛物线，则无论取任何非零实数，都经过同一个定点，直接写出这个定点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3).

【解析】

(1)令y=0，利用根的判别式证明即可；

(2) 令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到两个交点的坐标；

(3) 根据平移的规律得出C2的解析式y=mx2+x，求出抛物线与y轴的交点即可.

解：(1)证明：令y=0，则=0，

△=b2-4ac=(2m+1)2-4m(m+1)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0，

∴为任意非零实数时，抛物线与轴总有两个不同的交点；

(2) 令y=0，则=0，

这里a=m，b=2m+1，c=m+1，

∵△=b2-4ac=(2m+1)2-4m(m+1)=4m2+4m+1-4m2-4m=1，

∴,

解得：x1=，x2=-1，

∴抛物线与轴的两个交点的坐标是，．

∵将抛物线沿轴正方向平移一个单位长度得到抛物线，且抛物线，

∴，

∴无论取任何非零实数，都经过同一个定点，

答：无论取任何非零实数，都经过同一个定点，这个定点的坐标是．

故答案为：(1)证明见解析；(2)，；(3).