Question

【题目】如下图。

（1）观察发现：如图1，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以AB，BC为边，向外作正方形ABDE和正方形BCFG，连接DG．若M是DG的中点，不难发现：BM= AC．
请完善下面证明思路：①先根据 ，证明BM= DG；②再证明 ，得到DG=AC；所以BM= AC；
（2）数学思考：若将上题的条件改为：“已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACHI，N是EI的中点”，则相应的结论“AN= BC”成立吗？小颖通过添加如图2所示的辅助线验证了结论的正确性．请写出小颖所添加的辅助线的作法，并由此证明该结论；
（3）拓展延伸：如图3，已知等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE．连接BE，CD，若P是CD的中点，探索：当∠BAC与∠DAE满足什么条件时，AP= BE，并简要说明证明思路．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②△BDG≌△BAC；

故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，△BDG≌△BAC

（2）

解：能，理由如下：过I作IK⊥EA交EA的延长线于K，

∵∠EAI+∠BAC=360°﹣90°﹣90°=180°，∠EAI+∠IAK=180°，

∴∠BAC=∠IAK，

在△ABC与△AKI中， ，

∴△ABC≌△AKI，

∴BC=IK，AB=AK，

∵AE=AB，

∴AE=AI，

∵N是EI的中点，

∴AN是△EKI的中位线，

∴AN= IK，

∴AN= BC

（3）

解：当∠BAC=∠DAE=90°时，AP= BE，

延长BA到F，使AF=AB，连接EF，过A作AG∥BE，

∴EG= EF，

∴AG= BE，

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠CAD=180°﹣∠BAE，

∵∠FAE=180°﹣BAE，

∴∠CAD=∠FAE，

在△ACD与△AFE中， ，

∴△ACD≌△FAE，

∴∠ADC=∠AEF，EF=CD，

∵P是CD的中点，

∴DP= CD，

∴EG=DP，

在△ADP与△AEG中， ，

∴△ADP≌△AEG，

∴AP=AG，

∴AP= BE

【解析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）过I作IK⊥EA交EA的延长线于K，根据平角的定义得到∠BAC=∠IAK，根据全等三角形的性质得到BC=IK，AB=AK，等量代换得到AE=AI，推出AN是△EKI的中位线，于是得到结论．
（3）延长BA到F，使AF=AB，连接EF，过A作AG∥BE，根据三角形中位线的性质得到AG= BE，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AEF，EF=CD，根据全等三角形的性质即可得到结论．