Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．

（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；
（3）若AC=3，点D在直线BC上移动的过程中，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：DE=BE．理由如下：

∵△ADE为等边三角形，

∴AD=DE=AE，∠AED=60°．

∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，

∴∠EAB=60°﹣30°=30°，

∴∠ABC=∠EAB，

∴EB=AE，

∴EB=DE；

（2）

解：如图，

过点E作EF⊥AB，垂足为F，

在△ABC中，∠ABC=30°，

∴∠CAB=60°，

∴∠DAE=∠CAB，

∴∠DAE﹣∠CAE=∠BAC﹣∠CAE，

则∠CAD=∠EAF．

又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE，

∴△ADC≌△AEF，

∴AC=AF．

在△ABC中，∠ABC=30°，

∴AC= AB，

∴AF=BF，

∴EA=EB，

∴DE=EB；

（3）

解：如图，

∵四边形ACDE是梯形，∠ACD=90°，

∴∠CAE=90°．

∵∠CAE=∠CAD+∠EAD，

又∵在正三角形ADE中，∠EAD=60°，

∴∠CAD=30°．

在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°，

由勾股定理可得CD= ．

同理可得：若点D与点B重合，AC平行DE，此时CD=3 ，

综上所述：若AE∥CD，CD= ；若点D与点B重合，此时CD=3

【解析】（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半解决问题；（3）从A、C、D、E为顶点的梯形的性质入手，逐步找出解决问题的方案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)，还要掌握含30度角的直角三角形(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)的相关知识才是答题的关键．