Question

【题目】如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA 交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE=∠ACB．

（1）求证：AH是⊙O的切线；

（2）若OB=4，AC=6，求sin∠ACB的值；

（3）若，求证：CD=DH．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】分析：(1)、连接OA，根据圆周角定理得出∠ADE=∠ADB，然后证明△DAB和△DAE全等，从而得出AB=AE，结合OB=OD得出OA∥DE，从而得出答案；(2)、根据切线的性质得出AE=AC=AB=6，根据Rt△ABD的三角函数得出答案；(3)、根据OA是中位线得出△CDF和△AOF相似，从而得出答案．

详解：（1）证明：连接OA，由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB，∵∠ADE=∠ACB，∴∠ADE=∠ADB，

∵BD是直径，∴∠DAB=∠DAE=90°，在△DAB和△DAE中，

∠BAD=∠EAD，DA=DA，∠BDA=∠EDA，∴△DAB≌△DAE，∴AB=AE，又∵OB=OD，

∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，∴OA⊥AH，∴AH是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠E=∠DBE，∠DBE=∠ACD，∴∠E=∠ACD，∴AE=AC=AB=6．

在Rt△ABD中，AB=6，BD=8，∠ADE=∠ACB，∴sin∠ADB=，即sin∠ACB=；

（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，∴OA∥DE，OA=DE．

∴△CDF∽△AOF，∴，∴CD=OA=DE，即CD=CE，∵AC=AE，AH⊥CE，

∴CH=HE=CE，∴CD=CH，∴CD=DH．