Question

【题目】【问题发现】

（1）如图（1），四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为__________；

【拓展探究】

（2）如图（2），在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；

【解决问题】

（3）如图（3），在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．

Answer 1

【答案】（1）AC垂直平分BD（2）四边形FMAN是矩形（3）BD′的平方为16+8或16–8

【解析】试题分析：（1）根据AB=AD、CB=CD可知点A、C在线段BD的垂直平分线上，从而可得；

（2）连接AF，判断出DF是AB的垂直平分线，从而可得∠FMA＝90，同理可得∠FNA＝90，再根据∠MAN＝90，即可判断出四边形FMAN为矩形；

（3）分逆时针旋转与顺时针旋转两种情况分别讨论即可得.

试题解析：（1）∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∵点A、点C是不同的点，

∴AC⊥BD，

故答案为：垂直；

（2）猜想：四边形FMAN是矩形，理由如下：

连接AF，在Rt△ABC中，∵点F为BC的中点，

AF＝BF，

在等腰三角形ADB中，AD＝BD，

FD垂直平分AB，∠FMA＝90，

同理可得∠FNA＝90，又∵∠MAN＝90，

四边形FMAN为矩形；

（3）当逆时针旋转60度时，如图，过点D′作D′⊥AB，交BA延长线于点E，

则有∠D′AE=30°，∴D′E=AD′=1，AE=，

∴BE=，∴BD′2=BE2+ED′2=（）2+12=8+4；

当顺时针旋转60度时，如图，过点D′作D′⊥AB，交BA于点E，

则有∠D′AE=30°，∴D′E=AD′=1，AE=，

∴BE=，∴BD′2=BE2+ED′2=（）2+12=8-4，

综上，BD′2的值为8+4或8-4.