Question

【题目】类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整，原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G. 若 ， 求 的值．

（1）尝试探究：
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，
CG和EH的数量关系是 ， 的值是 ．
（2）类比延伸：如图2，在原题条件下，若 (m＞0)则 的值是(用含有m的代数式表示)，试写出解答过程 ．
（3）拓展迁移：如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F，若 (a＞0，b＞0)则 的值是(用含a、b的代数式表示)．

Answer 1

【答案】
（1）AB＝3EH,CG＝2EH,
（2）解： ,如下图所示,作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB∴ ＝ ＝m,∴AB＝mEH∵?ABCD∴AB＝CD＝mEH∵EH∥AB∥CD∴△BEH∽△BCG∴ ＝ ＝2,∴CG＝2EH,∴ ＝ ＝
（3）ab＋1
【解析】解：(1)依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图下图所示，

则有△ABF∽△EHF，

∴ ＝ ＝3，

∴AB＝3EH，

∵ABCD，EH∥AB

∴EH∥CD

又∵E为BC的中点，

∴EH为△BCG的中位线，

∴CG＝2EH，∴ ,

( 3 )如下图示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD

∵EH∥CD

∴△BCD∽△BEH,∴ ＝ ＝b，∴CD＝bEH

又 ＝a，

∴AB＝aCD＝abEH,∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF,

∴ ∴ .

（1）本小题体现“特殊”的情形是一个确定值，添加辅助线过点E作EH∥AB交BG于点H，易证△ABF∽△EHF，相似三角形的对应边成比例，即可求出AB和EH的数量关系，再证明EH为△BCG的中位线，就可以得出CG和EH的数量关系， =，即可求出结果。
（2）本小题体现“一般”的情形，首先作EH∥AB交BG于点H，证明△EFH∽△AFB，从而得出AB与EH的数量关系，然后根据EH∥AB∥CD，证得△BEH∽△BCG，得出对应边成比例，即可求出结果。
（3）此小题体现“类比”与“转化”思想，将（1）和（2）中的解题方法推广到梯形中求解即可。