Question

【题目】如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．

（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求DE的长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知，抛物线的对称轴为：x=6

∴设抛物线的解析式为

∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9）

∴

解得： ,k=-3

∴

（2）解：连接AE

∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3

∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点

∴AB=BD=3

∴AD=6

在Rt△ADE中，

∴

（3）解：）当BF⊥ED时∵∠AED=∠BFD=90°∠ADE=∠BDF

∴△AED∽△BFD

∴ 即

∴

当FB⊥AD时∵∠AED=∠FBD=90°∠ADE=∠FDB

∴△AED∽△FBD ∴ 即

∴当△BFD与EAD△相似时，BF的长为 或

【解析】（1）根据题意可知此抛物线的对称轴为x=6，设抛物线的解析式为顶点式，再将点A、C两点坐标代入解析式，建立方程求解，即可求出此函数解析式。
（2） 由DE是⊙A的切线，因此添加辅助线连接AE，得出∠AED=90°，AE=3 ，再根据圆的对称性及抛物线的对称性，求出AD的长， 在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的长。
（3）抓住已知点F是切线DE上的一个动点，要使△BFD与△EAD相似，图形中隐含公共角∠ADE=∠BDF，因此分两种情况：当BF⊥ED时；当FB⊥AD时，根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立方程，即可求出BF的长。
【考点精析】掌握二次函数的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．