Question

【题目】如图，已知 是 的直径，过点 作弦 的平行线，交过点 的切线 于点 ，连结 ．

（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠B，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙ O 的切线，切点为A，
∴∠OAP=90°，
∴∠C=∠OAP，
∴△ABC∽△POA

（2）解：∵ ，

∴ ，

∴ ,

∴OA=2,AB=4

∴ ，

∴ ,

【解析】（1）根据已知BC∥OP，得出∠AOP=∠B，再根据AB是直径，PA是⊙ O 的切线，得出∠C=∠OAP，根据两组对应角相等的两三角形相似，即可证得结论。
（2）根据OB的长，就可求出AB的长，再根据△ABC∽△POA ，得出对应边成比例，即可求出BC的长。
【考点精析】利用圆周角定理和切线的性质定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．