Question

【题目】已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

初步感知：
（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

Answer 1

【答案】
（1）

①证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠DAF=60°，

∴∠BAC=∠DAF，

∴∠BAD=∠CAF，

∵四边形ADEF是菱形，

∴AD=AF，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴∠ADB=∠AFC，

②解：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．理由如下：

∵△ABD≌△ACF，

∴∠ADB=∠AFC，

∵∠ADB=∠ACB+∠DAC，

∴∠AFC=∠ACB+∠DAC

问题探究：

（2）

解：∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．

∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=∠ACB﹣∠DAC．理由如下：

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，

∠BAC=60°，

∵∠BAC=∠DAF，

∴∠BAD=∠CAF，

∵四边形ADEF是菱形，

∴AD=AF．

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（SAS）．

∴∠ADB=∠AFC．

又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，

∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC

类比分析：

（3）

解：补全图形如图所示：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°；理由如下：

同（2）得：△ABD≌△ACF，

∴∠ADC=∠AFC，

∵∠ADC+∠ACB+∠DAC=180°，

∴∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°．

【解析】（1）①由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判断两三角形全等得出∠ADB=∠AFC；②由全等三角形的性质和三角形的外角性质即可得出结论；（2）此题应先判断得出正确的等量关系，然后再根据△ABD≌△ACF即可证明；（3）补全图形后由图形，由全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．