Question

【题目】已知如图，直线EF与AB、CD分别相交于点E、F．

（1）如图1，若∠1=120°，∠2=60°，求证AB∥CD；

（2）在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连结PE、PF，探索∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系；

①当点P在图2的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD；

请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）

解：如图2，过点P作MN∥AB，

则∠EPM=∠PEB_____．

∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图）

∴MN∥CD_____．

∴∠MPF=∠PFD

∴∠_____+∠_____=∠PEB+∠PFD（等式的性质）

即∠EPF=∠PEB+∠PFD

②当点P在图3的位置时，∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间有何关系并证明．

③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系：_____．

Answer 1

【答案】两直线平行，内错角相等如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行∠EPM∠MPF∠EPF+∠PFD=∠PEB

【解析】

（1）根据对顶角相等可得∠BEF的度数，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论；

（2）①过点P作MN∥AB，根据平行线的性质得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性质易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．

②③的解题方法与①一样，分别过点P作MN∥AB，然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系．

（1）∵∠1=120°，

∴∠BEF=120°，

又∵∠2=60°，

∴∠2+∠BEF=180°，

∴AB∥CD；

（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）．

∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图），

∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．

∴∠MPF=∠PFD，

∴∠EPM+∠FPM=∠PEB+∠PFD（等式的性质），

即∠EPF=∠PEB+∠PFD，

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠EPM，∠MPF；

②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；

证明：如图3，过作PM∥AB，

∵AB∥CD，MP∥AB，

∴MP∥CD，

∴∠BEP+∠EPM=180°，∠DFP+∠FPM=180°，

∴∠BEP+∠EPM+∠FPM+∠PFD=360°，

即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；

③∠EPF+∠PFD=∠PEB．

理由：如图4，过作PM∥AB，

∵AB∥CD，MP∥AB，

∴MP∥CD，

∴∠PEB=∠MPE，∠PFD=∠MPF，

∵∠EPF+∠FPM=∠MPE，

∴∠EPF+∠PFD=∠PEB．