Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），直线BC经过点B（﹣8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′，此时边OA′与边BC交于点P，边B′C′与BC的延长线交于点Q，连接AP．

（1）四边形OABC的形状是 ．

（2）在旋转过程中，当∠PAO=∠POA，求P点坐标．

（3）在旋转过程中，当P为线段BQ中点时，连接OQ，求△OPQ的面积．

Answer 1

【答案】（1）矩形；（2）P（﹣4，6）；（3）

【解析】

试题分析：（1）利用A，B，C点坐标得出∠COA=∠OAB=∠B=90°，进而得出答案；

（2）利用∠PAO=∠POA得出PA=PO，进而得出AE=EO=4，即可得出P点坐标；

（3）首先得出Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），进而利用平行线的性质求出∠POQ=∠PQO，即可得出BP=PO，再利用勾股定理得出PQ的长，进而求出△OPQ的面积．

解：（1）∵点A的坐标为（﹣8，0），点B（﹣8，6），C（0，6），

∴∠COA=∠OAB=∠B=90°，

∴四边形OABC是矩形．

故答案为：矩形；

（2）如图1，过点P作PE⊥AO于点E，

∵∠PAO=∠POA，

∴PA=PO，

∵PE⊥AO，

∴AE=EO=4，

∴P（﹣4，6）；

（3）如图2，在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中，

，

∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），

∴∠OQC=∠OQC'，

又∵OP∥C'Q，

∵∠POQ=∠OQC'，

∴∠POQ=∠PQO，

∴PO=PQ，

∵BP=QP，

∴BP=OP=x，

在Rt△OPC中，x2=（8﹣x）2+62，

解得：x=．

故S△OPQ=×CO×PQ=×6×=．