Question

【题目】已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=﹣t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】解：（I）解法一：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为3， 故 ，
因为圆过原点，所以a2+b2=9，所以 ，
又a2=2pb，所以 ，
因为p＞0，所以p=4，所以抛物线C方程x2=8y．
解法二：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，
圆M必过抛物线的焦点 ，
又圆M过原点，所以 ，
又圆的半径为3，所以 ，又a2=2pb，
又 ，得p2=16（p＞0），所以p=4．所以抛物线C方程x2=8y．
解法三：因为圆M与抛物线准线相切，所以 ，
且圆过 又圆过原点，故 ，可得 ，
解得p=4，所以抛物线C方程x2=8y．
（Ⅱ） 解法一：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（m，﹣t），
C方程为 ，所以 ，
∴抛物线在点A处的切线的斜率 ，所以切线PA方程为： ，
即 ，化简得 ，
又因过点P（m，﹣t），故可得， ，
即 ，同理可得 ，
所以x1 ， x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，
因为Q（0，﹣t），所以 ，
化简 = ．
所以∠AQO=∠BQO．
解法二：依题意设点P（m，﹣t），设过点P的切线为y=k（x﹣m）﹣t，所以 ，
所以x2﹣4kx+4km+4t=0，所以△=16k2﹣4（4km+4t）=0，即k2﹣km﹣t=0，
不妨设切线PA、PB的斜率为k1、k2 ， 点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
所以k1+k2=m，k1k2=﹣t，又 ，所以 ，所以 ，
所以x1=2k1 ， ，即点 ，同理点 ，
因为Q（0，﹣t），所以 ，同理 ，
所以 = + = ，
所以∠AQO=∠BQO．
【解析】（I）解法一：可得 ，a2+b2=9，即 ，又a2=2pb，所以 ，解得p=4，即可 解法二：可得圆M必过抛物线的焦点 ，又圆M过原点，得 ，
又圆的半径为3，得 ，又a2=2pb，得p=4．即可；
解法三：由圆M与抛物线准线相切，得 ，
且圆过 又圆过原点，故 ，可得 ，解得p=4，即可（Ⅱ） 解法一：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（m，﹣t），/span>
可得 ， ，即x1 ， x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，可得 ，化简 = ．可证得∠AQO=∠BQO．
解法二：依题意设点P（m，﹣t），设过点P的切线为y=k（x﹣m）﹣t由 ，
得x2﹣4kx+4km+4t=0，由△=16k2﹣4（4km+4t）=0，即k2﹣km﹣t=0．
不妨设切线PA、PB的斜率为k1、k2 ， 点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
得k1+k2=m，k1k2=﹣t，又 ，
得x1=2k1 ， ，即点 ，同理点 ，
可得 ，同理 ，
即 = + = ，可证得∠AQO=∠BQO．