Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形且 ，D，M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1 ， AA1=A1D=2，BC=1．
（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】解：∵A1D⊥CC1 ， 且D为中点，AA1=A1D=2，∴ ， 又 BC=1，AB=BA1=2，∴CB⊥BA，CB⊥BA1 ，
又 BA∩BA1=B，∴CB⊥平面ABB1A1 ，
取AA1中点F，则BF⊥AA1 ， 即BC，BF，BB1两两互相垂直，
以B为原点，BB1 ， BF，BC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，B1（2，0，0），C（0，0，1）， ， ，C1（2，0，1），D（1，0，1），

（I） ，设平面ABC的法向量为 =（x，y，z），
则 ，取 ，
∵ ，∴ ，
又MD平面ABC，∴直线MD∥平面ABC．
（II） 设平面ACA1的法向量为n=（x1 ， y1 ， z1）， ，
则 ，取 ，
又由（Ⅰ）知平面ABC的法向量为 ，
设二面角B﹣AC﹣A1为θ，
∴ ，
∴二面角B﹣AC﹣A1的余弦值为
【解析】由已知可得 ，CB⊥平面ABB1A1 ， 取AA1中点F可得BC，BF，BB1两两互相垂直 以B为原点，BB1 ， BF，BC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，B1（2，0，0），C（0，0，1）， ， ，C1（2，0，1），D（1，0，1）， ，利用空间向量求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．