Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），E是AC上一个动点，始终保持∠ADE=∠B，则当△DCE为直角三角形时，BD的长为 ．

Answer 1

【答案】4或
【解析】解：分两种情况：

①当∠DEC=90°时，△DCE为直角三角形，如图1，

∴∠AED=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠ADE=∠B，

∴∠ADE=∠C，

∵∠DAE=∠DAC，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED=90°，

∴AD⊥BC，

∴BD= BC= ×8=4；

②当∠EDC=90°时，△DCE为直角三角形，如图2，

过A作AF⊥BC于F，则BF=4，

∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，

∠ADE=∠B，

∴∠EDC=∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠BFA=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BFA∽△BAD，

∴ ，

∵AB=5，

∴ ，

∴BD= ，

综上所述，BD为4或 ，

所以答案是：4或 ．

【考点精析】利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．