Question

【题目】已知，如图点P是△ABC的边BC上的一动点，点E与点P关于直线AB成轴对称，连接EP交AB于点F，连接AP、EC相交于点O，连接AE.

（1）判断AE与AP的数量关系，并说明理由.

（2）在点P的运动过程中，当AE∥BC时，判断AP与BP的数量关系，并说明理由.

（3）若∠BAC=900，点P在运动过程中是否存在线段AP与线段EC互相平分的情况，若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)相等，理由见解析；（2）相等，理由见解析；（3）存在，点P为BC的中点时，理由见解析

【解析】

(1)根据SAS证明△AEF≌△APF，再由全等三角形的面积得到AE＝AP；

(2)由AE//BC可得∠EAB=∠B,由(1)可得∠EAB=∠BAP，所以∠B＝∠BAP，再根据等角对等边得BP＝AP；

(3)当点P为BC的中点时，由直角三角形的斜边中点可得BP＝CP＝AP，从而得到∠B＝∠BAP，又由（1）可得AE＝AP＝PB＝PC和∠EAB=∠BAP，则∠B＝∠EAB，再得到AE//BC，再根据一组对边平行且相等可得四边形AEPC为平行四边形，由平行四边形的性质可得AP和EC互相平分.

(1)∵点E与点P关于直线AB成轴对称，

∴AB⊥EP且平分,

∴∠AFE=∠AFP,EF=PF,

在△AEF和△APF中，

，

∴△AEF≌△APF，

∴AE＝AP;

(2)如图所示：

∵AE//BC，

∴∠EAB=∠B,

∵△AEF≌△APF，

∴∠EAB=∠BAP，

∴∠B＝∠BAP，

∴BP＝AP;

(3)存在，当点P为BC的中点时，

∵P是BC的中点，∠BAC＝90o,

∴BP=PC=AP,

∴∠B=∠BAP,

由（1）中△AEF≌△APF，

∴∠EAB＝∠BAP，AE＝AP，

∴∠B＝∠EAB，AE＝AP＝BP＝PC，

∴AE//PC,AE=PC,

∴四边形AEPC是平行四边形，

∴AP和CE互相平分.