Question

【题目】如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：(1) ∠DCF=∠BCD；(2)EF＝CF；(3)S△CDF＝S△CEF；(4)∠DFE＝3∠AEF.其中正确结论的个数是( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．

(1)∵F是AD的中点，

∴AF=FD，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=12∠BCD，故正确；

(2)延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF(ASA)，

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故正确；

(3)∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC>BE，

∴S△BEC<2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF错误；

(4)设∠FEC=x，则∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°x，

∴∠EFC=180°2x，

∴∠EFD=90°x+180°2x=270°3x，

∵∠AEF=90°x，

∴∠DFE=3∠AEF，故正确，

故选：C.