Question

【题目】在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE．

（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是　 　度；

（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若△ABD的面积为4，求△CBE的面积；

（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）S△CBE=；（3）线段MP'的最大值为7，最小值为﹣2．

【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知：∠DEC=45°，再由等边对等角得∠BEC=45°，则∠CED=90°；

（2）由△ABC≌△DBE得出BA=BD，BC=BE，进而得出，证明△ABD∽△CBE，根据面积比等于相似比的平方求出△CBE的面积；

（3）作辅助线，当点P在F处时BP最小，则BG最小，MP'最小；当点P在点C处时，BP最大，则BH最大，MP'最大，代入计算即可得出结论．

试题解析：解：（1）由旋转得：∠DEB=∠ACB=45°，BC=BE，∴∠ACB=∠BEC=45°，∴∠CED=90°．故答案为：90；

（2）∵△ABC≌△DBE，∴BA=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，∴．∵∠ABD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴=（）2=．∵S△ABD=4，∴S△CBE=；

（3）∵M是AB的中点，∴BM=AB=2．如图③，过点B作BF⊥AC，F为垂足．∵△ABC为锐角三角形，∴点F在线段AC上．在Rt△BCF中，BF=BC×sin45°=，以B为圆心，BF为半径画圆交AB于G，BP'有最小值BG，∴MP'的最小值为MG=BG﹣BM=﹣2，以B为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于H，BP'有最大值BH．此时MP'的最大值为BM+BH=2+5=7，∴线段MP'的最大值为7，最小值为﹣2．