Question

【题目】如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连接BF，∠CAE+∠CBE=90°．

（1）求证：△CAE∽△CBF；

（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CE=．

【解析】

试题分析：（1）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得，∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；

（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，

∴，

∴∠ACB=∠ECF=45°，

∴∠ACE=∠BCF，

∴△CAE∽△CBF．

（2）∵△CAE∽△CBF，

∴∠CAE=∠△CBF，，

又∵∠CAE+∠CBE=90°，

∴∠CBF+∠CBE=90°，

∴∠EBF=90°，

又∵，AE=2

∴，

∴BF=，

∴EF2=BE2+BF2=3，

∴EF=，

∵CE2=2EF2=6，

∴CE=．