Question

【题目】如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上的一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC，若∠DAO=105°，∠E=30°．

（Ⅰ）求∠OCE的度数；

（Ⅱ）若⊙O的半径为2，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）45°；（Ⅱ）2﹣2．

【解析】分析：

（1）由CD是⊙O的切线可得OC⊥CD，结合AD⊥CD于点D可得OC∥AD，从而可得∠COE=∠DAE=105°，结合∠E=30°即可得到∠OCE=45°；

（2）如下图，过点O作OM⊥CF于点M，则CM=MF结合∠OCE=45°，OC=即可得到OM=CM=2=MF，结合∠E=30°可得OE=2OM=4，则由勾股定理可得ME=，从而可得EF=ME-MF=.

详解：

（Ⅰ）∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠COE=∠DAO=105°，

又∵∠E=30°，

∴∠OCE=180°﹣∠COE﹣∠E=45°；

（Ⅱ）如下图，过点O作OM⊥CE于M，

∴ CM=MF，∠OMC=∠OME=90°，

∵∠OCE=45°，

∴OM=CM=2=MF，

∵∠E=30°，

∴在Rt△OME中，OE=2OM=4，

∴ME=，

∴EF=ME-MF=.