Question

【题目】已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．

（1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系；
（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，

∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，

∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，

，

∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），

∴BM=CN

（2）AM+AN=2AC
（3）解：如图2，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，

∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，

∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，

，

∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），

∴BM=CN，

∴S△PBM=S△PCN

∵AC：PC=2：1，PC=4，

∴AC=8，

∴由（2）可得，AB=AC=8，PB=PC=4，

∴S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM

=S△APN+S△APB+S△PCN

=S△APC+S△APB

= ACPC+ ABPB

= ×8×4+ ×8×4

=32

【解析】解：（2）AM+AN=2AC．
∵∠APB=90°﹣∠PAB，∠APC=90°﹣∠PAC，点P为∠EAF平分线上一点，
∴∠APC=∠APB，即AP平分∠CPB，
∵PB⊥AB，PC⊥AC，
∴AB=AC，
又∵BM=CN，
∴AM+AN=（AB﹣MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC；
所以答案是：AM+AN=2AC．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的面积的相关知识，掌握三角形的面积=1/2×底×高，以及对角平分线的性质定理的理解，了解定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．