Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（　　）

A. 3﹣ B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先根据勾股定理计算直径AB==2，作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP=DQ，由全等可得AP=AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC=∠DCE，根据外角性质得：∠ACE=∠ECB，则∠ACE=∠ECB=45°，作辅助线后可得：△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，根据△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AC=2，BC=4，

∴AB==2，

∵CD=BD，

∴，

∴∠CAD=∠BAD，

过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，

∴PD=DQ，

∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），

∴CP=BQ，

易得△APD≌△AQD，

∴AP=AQ，

设PC=x，则AP=2+x，AQ=AB-BQ=2-x，

∴2+x=2-x，

x=-1，

∴BQ=CP=-1，OQ=1，

Rt△ODQ中，DQ=PD==2，

∵DE=DC，

∴∠DEC=∠DCE，

∵∠DEC=∠CAD+∠ACE，∠DCE=∠ECB+∠ACE，

∴∠CAD+∠ACE=∠ECB+∠DCB，

∵，

∴∠CAD=∠DCB，

∴∠ACE=∠ECB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠ECB=45°，

过E作EF⊥AP于F，

∴△EFC是等腰直角三角形，

设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，

∵EF∥PD，

∴△AFE∽△APD，

∴，

∴，

∴a=3-，

∴CE=a=（3-）=3-.

故选D．