Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F.

（1）如图1，求证：AE=DF；

（2）如图2，若AB=2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形；

（3）如图3，若AB=2，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．求线段AE长度的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 ）＜AE≤2．

【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质得到∠EAM=∠FDM=90°，根据全等三角形的判定定理得到△AEM≌△DFM（ASA），由全等三角形的性质即可得到结论；

（2）过点G作GH⊥AD于H，推出四边ABGH为矩形，得到∠AME+∠AEM=90°，由于∠AME+∠GMH=90°等量代换得到∠AEM=∠GMH，推出△AEM≌△HMG（AAS），根据全等三角形的性质得到ME=MG，求得∠EGM=45°．根据全等三角形的性质得到ME=MF．即可得到结论；

（3 ）根据四边形ABCD是矩形，得到∠A=∠ADC=90°，等量代换得到∠AEM=∠DMC，根据相似三角形的性质得到 ，代入数据求得AE=，当E、B重合时，AE最长为2 ，于是得到结论．

试题解析：（1）如图1，在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，

∵M是AD的中点，∴AM=DM，又∠AME=∠FMD，

在△AEM与△DFM中， ，

∴△AEM≌△DFM（ASA），

∴AE=DF；

（2）如图2，过点G作GH⊥AD于H，

∴∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边ABGH为矩形，∴∠AME+∠AEM=90°，

∵MG⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°∴∠AEM=∠GMH，

∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2，

∵四边ABGH为矩形，∴AB=HG=2，∴AM=HG，

在△AEM与△HMG中， ，

∴△AEM≌△HMG（AAS），∴ME=MG，∴∠EGM=45°．

由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF．

∵MG⊥EF，∴GE=GF，∴∠EGF=2∠EGM=90°．

∴△GEF是等腰直角三角形；

（3 ）当C、G重合时，如图4，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°，∴∠AME+∠AEM=90°．

∵MG⊥EF，∴∠EMG=90°，∴∠AME+∠DMC=90°，∴∠AEM=∠DMC，

∴△AEM∽△DMC∴ ，∴ ，∴AE=，

当E、B重合时，AE最长为2，

∴＜AE≤2．