Question

【题目】如图，在直角坐标系中，点是第一象限内的点，直线与轴交于点，过点作轴，垂足为，过点的直线与轴交于点，已知直线上的点的坐标是方程的解，直线上的点的坐标是方程的解

(1)求点的坐标

(2)证明：（要求写出每一步的推理依据）；

(3)求点的坐标，并求三角形的面积

Answer 1

【答案】（1）B（3，4），C（0，4）；（2）见解析；（3）点E的坐标为：（1，2），面积为3

【解析】

（1）由直线CD上的点的坐标（x，y）是方程2x+y=4的解，则当x=0时，y=4，则点C的坐标（0，4），由BC⊥y轴，直线AB上的点的坐标（x，y）是方程x-y=-1的解，当y=4时，x=3，则点C的坐标（3，4）；
（2）由垂直于同一条直线的两条直线平行得出CB∥x轴，由两平行直线被第三条直线所截，内错角相等得出∠ABC=∠BAD，由对顶角相等得出∠1=∠BAD，等量代换即可得出结论；
（3）由题意得点E的坐标（x，y）是 的解，求出点E的坐标（1，2），再求出点D的坐标（2，0），点A的坐标（-1，0），则AD=3，△AED底边AD上的高为2，由三角形面积公式即可得出结果．

（1）解：∵直线CD上的点的坐标（x，y）是方程2x+y=4的解，
∴当x=0时，2×0+y=4，
解得：y=4，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵BC⊥y轴，直线AB上的点的坐标（x，y）是方程x-y=-1的解，
∴当y=4时，x-4=-1，
解得：x=3，
∴点B的坐标为：（3，4）；
（2）证明：∵BC⊥y轴（已知），
∴CB∥x轴（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∵∠ABC=∠BAD（两平行直线被第三条直线所截，内错角相等），
∵∠1=∠BAD（对顶角相等），
∴∠ABC=∠1（等量代换）；
（3）解：由题意得点E的坐标（x，y）是的解，
解得： ，
∴点E的坐标为：（1，2），
∵直线CD上的点的坐标（x，y）是方程2x+y=4的解，
∴当y=0时，2x+0=4，
解得：x=2，
∴点D的坐标为：（2，0），
∵直线AB上的点的坐标（x，y）是方程x-y=-1的解，
∴当y=0时，x-0=-1，
解得：x=-1，
∴点A的坐标为：（-1，0），
∴AD=2-（-1）=3，
∵点E的坐标为：（1，2），
∴△AED底边AD上的高为2，
∴S△ADE=×3×2=3．